Tenzor energie a hybnosti

V tenzoru energie a hybnosti je zaznamenáno vše o rozložení energie v systému (hustota, tlak, apod.). Jde o symetrický tenzor druhého řádu T^μν, kde indexy μ, ν nabývají hodnot 0,1,2,3, což jsou postupně všechny 4 souřadnice čtyřrozměrného časoprostoru (první hodnota indexu je obvykle časová souřadnice). Tento tenzor je definovaný jako μ-složka hustoty ν-složky hybnosti: T_μν = r u^μu^ν. Jednotkou je objemová hustota energie (v obvyklých jednotkách tedy Joule na metr krychlový, což odpovídá jednotce tlaku - Pascal). Navíc tento tenzor vyhovuje zákonu zachování energie a hybnosti T^μν_;ν = 0, kde středník před indexem značí kovariantní derivaci - viz afinní konexe.

Pro jednoduchost si představme stejnorodý prach (soubor částic, které nemění vzájemnou polohu a které na sebe nepůsobí) rovnoměrně vyplňující prostor. Částečkami "prachu" může být cokoli - písek, hvězdy nebo i galaxie - na podrobnostech zde nezáleží. Pokud jsme v klidové soustavě takového prachu, je zřejmé, že vymizí většina složek tenzoru energie, protože částice se zde nepohybují. Nenulová bude pouze T⁰⁰ (hustota energie), v tomto případě T⁰⁰= ρc², kde ρ je běžná hustota látky. Pokud oním prachem myslíme galaxie, pak samozřejmě hustota musí být měřena na hodně velkém objemu, obsahujícím mnoho galaxií. V jednotkách, kde c=1, je T⁰⁰=ρ. Ve vakuu jsou nulové všechny složky, protože ρ = 0.

Pokud je prostor vyplněn plynem nebo kapalinou (pohybujícími se částicemi, které na sebe vzájemně působí), pak je navíc přítomen tlak, ve všech směrech stejný. V klidové soustavě plynu má tenzor energie ještě nenulové prvky T¹¹ až T³³, které jsou přímo rovny tlaku p: